Вероятности в блэкджеке: блэкджек и перебор

В полной колоде из 52 карт шанс получить исходный блэкджек равен примерно 4,827%; в полном наборе из шести колод — 4,749%. Вероятность перебора зависит от текущей руки и состава неизвестных карт. Эти показатели отвечают на разные вопросы и сами по себе не показывают шанс выиграть деньги.

В статье считаем исходный блэкджек и перебор именно на следующей карте. Расчёт результата раздачи с дилером требует дополнительных условий: его карт, правил добора и действий игрока. Основы есть в правилах блэкджека.

Какова вероятность получить блэкджек

Исходный блэкджек — туз и карта стоимостью 10 в первых двух картах исходной руки. Десятка, валет, дама и король подходят одинаково. После добора или сплита сумма 21 обычно не получает статус исходного блэкджека.

Возьмём полный перемешанный набор, из которого никакие карты заранее не известны. Если колод n, в нём 52n карт, 4n тузов и 16n десятиочковых карт. Получить нужные две карты можно в двух порядках: сначала туз либо сначала десятиочковая карта.

P(блэкджек) = 2 × (4n / 52n) × (16n / (52n − 1)).

Во втором знаменателе вычитается единица: первую карту уже выдали. Для шести колод расчёт имеет вид 2 × (24 / 312) × (96 / 311).

Колод	Карт в полном наборе	Тузов	Десятиочковых карт	Шанс исходного блэкджека
1	52	4	16	4,827%
2	104	8	32	4,780%
6	312	24	96	4,749%
8	416	32	128	4,745%

Это вероятность получить комбинацию, а не обязательно выиграть с повышенной оплатой: у дилера тоже может оказаться блэкджек, и тогда в обычном варианте будет ничья. Отличие комбинации от денежного результата разобрано в статье о выплатах.

Если часть карт уже известна, формула полного набора больше не описывает условную вероятность для оставшихся карт. Меняются и числитель, и знаменатель; нельзя просто оставить в расчёте первоначальные 24 туза и 96 десяток.

Шанс перебора на следующей карте

Сначала используем модель бесконечной колоды: каждый из 13 рангов одинаково вероятен при каждом доборе, а ранее выданные карты не меняют эти вероятности. Это удобное приближение для объяснения, а не точный расчёт конкретного конечного набора.

Для жёстких 16 опасны 6, 7, 8, 9, 10, J, Q и K — восемь рангов из 13. Туз считается за 1 и даёт 17. Получаем 8 / 13 ≈ 61,54% перебора на одной следующей карте.

Жёсткая сумма	Карты, создающие перебор	Опасных рангов	Шанс на следующей карте
12	10, J, Q, K	4 из 13	30,77%
13	9, 10, J, Q, K	5 из 13	38,46%
14	8, 9, 10, J, Q, K	6 из 13	46,15%
15	7, 8, 9, 10, J, Q, K	7 из 13	53,85%
16	6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K	8 из 13	61,54%

На жёстких 11 и меньше одна обычная карта перебор не создаёт. С мягкой руки одна следующая карта тоже не создаёт перебор: при необходимости туз станет единицей. Но полученная рука может стать жёсткой, а последующий добор — уже привести к проигрышу. Примеры пересчёта есть в материале о тузе.

Риск перебора на одной карте не равен риску перебора за весь дальнейший добор. Например, жёсткие 12 после двойки превращаются в 14. Если затем взять ещё карту, появится новый риск, который первая строка таблицы не учитывала.

Почему в конечной колоде важны известные карты

Рассмотрим два отдельных примера с одной изначально полной колодой. Известны только две карты игрока и открытая 5♥ дилера; остальных открытых или ранее учтённых карт нет. Проверка блэкджека не добавляет ограничений. Сравним жёсткие 12: 10♣ 2♦ и 6♣ 6♦.

После трёх известных карт остаются 49 неизвестных. Перебор с 12 создаст только карта стоимостью 10. В первом примере одна такая карта уже у игрока, поэтому неизвестных опасных карт 15. Во втором все 16 ещё неизвестны.

Рука игрока	Открытая карта дилера	Опасных среди неизвестных	Шанс перебора на следующей карте
10♣ 2♦	5♥	15 из 49	30,61%
6♣ 6♦	5♥	16 из 49	32,65%

Если закрытая карта дилера уже выдана, но неизвестна, она входит в эти 49 неизвестных карт. Не нужно произвольно вычитать из опасных карт один номинал, который мы не видели. При заданных условиях следующая карта игрока имеет такое же распределение среди неизвестных.

Одинаковая сумма не всегда означает одинаковый точный риск. При этом 6 + 6 ещё является парой: возможность сплита — отдельный вопрос. Таблица сравнивает только результат одного добора и не рекомендует действие.

Почему одного процента перебора недостаточно для решения

Действие stand исключает собственный дальнейший перебор, но рука может проиграть дилеру. Hit иногда заканчивается перебором, иногда улучшает руку, а иногда оставляет слабую сумму. Для сравнения действий нужно учитывать все исходы и их оплату.

Поэтому «меньше риск перебрать» и «выше математическое ожидание» не являются одним критерием. Как учитываются разные результаты, объясняет статья о преимуществе казино и ожидании. Для чтения готовых решений используйте таблицу базовой стратегии с подходящими правилами.

Частые вопросы

Если блэкджека долго не было, он теперь вероятнее?

Сам факт длинной серии не делает комбинацию обязательной. При новой независимой раздаче из полного перемешанного набора вероятность прежняя. В неперемешанном наборе она может меняться из-за состава оставшихся карт, а не из-за «долга» случайности.

Примерно один блэкджек на 21 руку означает, что он будет в каждой такой серии?

Нет. Для иллюстрации возьмём независимые раздачи с полной перетасовкой шести колод перед каждой: шанс не получить ни одного блэкджека за 20 рук равен (1 − p)^20 ≈ 37,79%, где p ≈ 0,047489. Для последовательных рук из одного не восстановленного набора эту формулу независимости напрямую применять нельзя.

Вероятность выигрыша в блэкджеке — одна постоянная цифра?

Нет. Нужно определить событие, правила, стратегию и известные карты. Выигрыш обычной руки, исходный блэкджек, отсутствие перебора и прибыль всей сессии — разные события.